Фильтр Калмана

Вот и настал момент, когда пришлось с ним познакомиться поближе. Вкратце, это математический аппарат, который позволяет сглаживать данные на лету, не накапливая их для анализа. Используется для обработки показаний датчиков и любых приборов. Как правило, такие показания подвержены шумам и отклонениям, их нужно отсекать. Фильтра Калмана (ФК) позволяет отбрасывать пики и видеть усредненную, более вероятную картину процесса.

Рудольф Калман. Что бы мы без него делали. А ведь когда он придумал свой фильтр в 1960 году, то встретился с таким скептицизмом, что был вынужден опубликовать первые работы о нем в журнале, связанном с механикой, хотя сам занимался электротехникой.

Применений множество. Представьте датчик топлива в баке автомобиля. Он же болтается там внутри, если просто записать его показания, а потом попытаться проанализировать, получится, что в какой-то момент в баке было 30 л, через секунду 50, а потом 27. А это просто волны внутри гуляют. Сколько же в этот момент было в баке? ФК может дать более вероятный ответ.

Я сейчас делаю навигационные компоненты для iOS и столкнулся с проблемой биения сигнала и резкими скачками позиции при включении приемника. Переключение со спутникового сигнала на вайфай тоже дает неприятные перепады. Кроме того, моментальную и среднюю скорость тоже неплохо бы фильтровать. И начал разбираться.

Материалов по ФК много, мне показались лучшими эти документы: раз и два. Но ими лучше пользоваться потом, когда суть работы фильтра уже станет понятной.

Если очень кратко, то суть в том, что большинство явлений подчиняются Гауссовскому распределению вероятностей.


Например, мы думаем, что находимся в точке x. Но мы ведь можем ошибаться, потому, например, что отмеряли расстояние до x каким-нибудь прибором, а он, конечно, врет. Поэтому мы считаем, что находимся в точке x с какой-то вероятностью p. А может, мы сейчас в точке x', но вероятность этого меньше — p'. Ну такое вот распределение вероятностей.

Наиболее вероятный x посредине — это μ, математическое ожидание. Ширина этой "шляпы" зависит от σ2 — это дисперсия, квадрат стандартного отклонения. Чем больше отклонение, тем шляпа шире и неопределенность больше.

У этой кривой такое уравнение:

p = 1 σ 2 π e - x - μ 2 2 σ 2 (1)

Но его бояться не надо, т.к. нам надо искать середину, самый вероятный x. А в середине он равен μ, в числителе степени разница между x и μ дает 0, это многое потом упрощает.

Что же делает фильтр? Он помнит только одно значение x1 и его дисперсию σ2. Когда поступает новое значение x2 со своим отклонением r2, он умножает их (по правилам распределения, см. формулу 2) друг на друга и в результате будет новое значение x3 с погрешностью меньшей, чем у двух предыдущих!

Например, текущее значение фильтра — синее распределение. Поступает новое значение, со своим отклонением (красное). Фильтр перемножает их по правилам распределения (см. формулу 2) и получает новое распределение (зеленое). Оно гораздо точнее двух изначальных, т.к. его дисперсия меньше (см. формулу 3) и становится текущим значением фильтра.

Умножение распределений делается так:

x 3 = r 2 x 1 + σ 2 x 2 r 2 + σ 2 (2)

Дисперсия тоже уточняется:

σ 2 ’ = 1 1 r 2 + 1 σ 2 (3)

И тоже становится текущей. Поступает еще значение, состояние еще больше уточняется и так далее.

Я разобрался с принципом работы фильтра, пройдя этот онлайн-курс. Там дядечка рассказывает все довольно понятно, на каком-то этапе видео останавливается и ты должен ответить на вопросы или дописать кусок функции (на питоне), чтобы подтвердить, что ты усвоил материал.

В процессе прохождения этого курса я написал скалярную и матричную версию фильтра, выкладываю их здесь.

Матричная версия, классический фильтр Калмана:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
# Multi-dimensional Kalman Filter from online course
# https://www.udacity.com/course/viewer#!/c-cs373/l-48723604/m-48670988
# written by Pavel Malinnikov, May 2013


from math import *
from random import *
import matplotlib.pyplot as plt


class matrix:

    # implements basic operations of a matrix class

    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.dimx = len(value)
        self.dimy = len(value[0])
        if value == [[]]:
            self.dimx = 0

    def zero(self, dimx, dimy):
        # check if valid dimensions
        if dimx < 1 or dimy < 1:
            raise ValueError, "Invalid size of matrix"
        else:
            self.dimx = dimx
            self.dimy = dimy
            self.value = [[0 for row in range(dimy)] for col in range(dimx)]

    def identity(self, dim):
        # check if valid dimension
        if dim < 1:
            raise ValueError, "Invalid size of matrix"
        else:
            self.dimx = dim
            self.dimy = dim
            self.value = [[0 for row in range(dim)] for col in range(dim)]
            for i in range(dim):
                self.value[i][i] = 1

    def show(self):
        for i in range(self.dimx):
            print self.value[i]
        print ' '

    def __add__(self, other):
        # check if correct dimensions
        if self.dimx != other.dimx or self.dimy != other.dimy:
            raise ValueError, "Matrices must be of equal dimensions to add"
        else:
            # add if correct dimensions
            res = matrix([[]])
            res.zero(self.dimx, self.dimy)
            for i in range(self.dimx):
                for j in range(self.dimy):
                    res.value[i][j] = self.value[i][j] + other.value[i][j]
            return res

    def __sub__(self, other):
        # check if correct dimensions
        if self.dimx != other.dimx or self.dimy != other.dimy:
            raise ValueError, "Matrices must be of equal dimensions to subtract"
        else:
            # subtract if correct dimensions
            res = matrix([[]])
            res.zero(self.dimx, self.dimy)
            for i in range(self.dimx):
                for j in range(self.dimy):
                    res.value[i][j] = self.value[i][j] - other.value[i][j]
            return res

    def __mul__(self, other):
        # check if correct dimensions
        if self.dimy != other.dimx:
            raise ValueError, "Matrices must be m*n and n*p to multiply"
        else:
            # subtract if correct dimensions
            res = matrix([[]])
            res.zero(self.dimx, other.dimy)
            for i in range(self.dimx):
                for j in range(other.dimy):
                    for k in range(self.dimy):
                        res.value[i][j] += self.value[i][k] * other.value[k][j]
            return res

    def transpose(self):
        # compute transpose
        res = matrix([[]])
        res.zero(self.dimy, self.dimx)
        for i in range(self.dimx):
            for j in range(self.dimy):
                res.value[j][i] = self.value[i][j]
        return res

    # Thanks to Ernesto P. Adorio for use of Cholesky and CholeskyInverse functions

    def Cholesky(self, ztol = 1.0e-5):
        # Computes the upper triangular Cholesky factorization of
        # a positive definite matrix.
        res = matrix([[]])
        res.zero(self.dimx, self.dimx)

        for i in range(self.dimx):
            S = sum([(res.value[k][i]) ** 2 for k in range(i)])
            d = self.value[i][i] - S
            if abs(d) < ztol:
                res.value[i][i] = 0.0
            else:
                if d < 0.0:
                    raise ValueError, "Matrix not positive-definite"
                res.value[i][i] = sqrt(d)
            for j in range(i + 1, self.dimx):
                S = sum([res.value[k][i] * res.value[k][j] for k in range(self.dimx)])
                if abs(S) < ztol:
                    S = 0.0
                res.value[i][j] = (self.value[i][j] - S) / res.value[i][i]
        return res

    def CholeskyInverse(self):
        # Computes inverse of matrix given its Cholesky upper Triangular
        # decomposition of matrix.
        res = matrix([[]])
        res.zero(self.dimx, self.dimx)

        # Backward step for inverse.
        for j in reversed(range(self.dimx)):
            tjj = self.value[j][j]
            S = sum([self.value[j][k] * res.value[j][k] for k in range(j + 1, self.dimx)])
            res.value[j][j] = 1.0 / tjj ** 2 - S / tjj
            for i in reversed(range(j)):
                res.value[j][i] = res.value[i][j] = -sum([self.value[i][k] * res.value[k][j] for k in range(i + 1, self.dimx)]) / self.value[i][i]
        return res

    def inverse(self):
        aux = self.Cholesky()
        res = aux.CholeskyInverse()
        return res

    def __repr__(self):
        return repr(self.value)


########################################
result = []

def kalman(x, P):
    for n in range(len(positions)):

        # measurement update
        z = matrix([[positions[n]]])
        y = z - H * x
        S = H * P * H.transpose() + R
        K = P * H.transpose() * S.inverse()
        x = x + (K * y)
        P = (I - K * H) * P

        # prediction
        x = F * x + u
        P = F * P * F.transpose()

        result.append(x.value[0][0])
        speed.append(x.value[1][0])

########################################

seed()

data = [5. + x * .3 for x in range(50)]

positions = [x + random() * randint(-1, 1) * 5 for x in data]

x = matrix([[0.], [0.]]) # initial state (location and velocity)
P = matrix([[1000., 0.], [0., 1000.]]) # initial uncertainty
u = matrix([[0.], [0.]]) # external motion
F = matrix([[1., 1.], [0, 1.]]) # next state function
H = matrix([[1., 0.]]) # measurement function
R = matrix([[4.]]) # measurement uncertainty
I = matrix([[1., 0.], [0., 1.]]) # identity matrix

speed = []

kalman(x, P)

plt.plot(data, 'b')
plt.plot(positions, 'r')
plt.plot(result, 'g')
plt.plot(speed, 'y')

plt.show()

А это скалярная, упрощенная реализация. Я сразу попробовал ее на раздельном сглаживании широты и долготы. Тренировался на треках, которые люди загружают на OpenStreetMap. Вот она:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
# One-dimensional Kalman Filter testing for geo-track data smoothing
# Tracks were taken from http://www.openstreetmap.org/traces
# Pavel Malinnikov, May 2013


import matplotlib.pyplot as plt
import xml.etree.ElementTree as ET

tree = ET.parse('/Users/pavelmalinnikov/Downloads/1464857.gpx')
root = tree.getroot()

namespaces = {'ns':"http://www.topografix.com/GPX/1/1"}
# namespaces = {'ns':"http://www.topografix.com/GPX/1/0"}
points = root.findall(".//ns:trkpt", namespaces = namespaces)

if len(points) == 0:
    print 'Track loading failed'
    exit()

resultLng = []
resultLat = []

def update(mean1, var1, mean2, var2):
    new_mean = (var2 * mean1 + var1 * mean2) / (var1 + var2)
    new_var = 1 / (1 / var1 + 1 / var2)
    return [new_mean, new_var]

def predict(mean1, var1, mean2, var2):
    new_mean = mean1 + mean2
    new_var = var1 + var2
    return [new_mean, new_var]


positions = [[float(p.get('lon')), float(p.get('lat'))] for p in points]


longitudes = [position[0] for position in positions]
latitudes = [position[1] for position in positions]

motion_sig = 1.
measurement_sig = 10.

lng = longitudes[0]
lat = latitudes[0]
sigLng = 1.
sigLat = 1.


for i in range(len(positions)):
    lng, sigLng = update(lng, sigLng, longitudes[i], measurement_sig)
    lng, sigLng = predict(lng, sigLng, 0, motion_sig)
    resultLng.append(lng)

    lat, sigLat = update(lat, sigLat, latitudes[i], measurement_sig)
    lat, sigLat = predict(lat, sigLat, 0, motion_sig)
    resultLat.append(lat)


kalman = [[resultLng[i], resultLat[i]] for i in range(len(positions))]

plt.plot(*zip(*positions), color = 'r')
plt.plot(*zip(*kalman), color = 'g')

plt.show()

Вообще для таких целей как раз должна использоваться матричная версия, но для этого ее нужно переписать для матриц размером 4*4.

Скалярный вариант тоже справляется неплохо. Вот сглаженный трек (он специально упрощен больше чем надо, для наглядности):

Неплохо обрабатывает путь, убирает шум (красная линия — данные gps, зеленая — сглаженный путь):

Я думаю, ФК еще пригодится мне не раз. Он нужен везде. Так что выходные были потрачены не зря.

← →
28.05.2013 • Метки: , , , • Рубрики: Разработка ПО

Комментариев: 11

  1. Carc 29.05.2013 09:42

    Интересный пост!!! Достаточно просто, понятно и доходчиво говорить о сложном не каждому дано.
    Так держать!!!

  2. Эрбол 05.09.2013 07:05

    Отличная статья. Автору почет и уважение

  3. Сергей 03.10.2013 08:58

    Замечательная статья! Я её использую на занятиях со студентами (специальность не техническая, будущие менеджеры). Но надо немного поправить текст в этом месте "Например, текущее значение фильтра — синее распределение. Поступает новое значение, со своим отклонением (красное). Фильтр перемножает их и получает новое распределение (зеленое)". После "...перемножает их" надо добавить и умножает на нормировочную константу. Если это не сделать, зеленое распределение будет ниже синего и красного, соответственно площадь под кривой меньше единицы - нарушается условие нормировки. Эти три красивые кривые наглядно демонстрируют, что фильтр Калмана реализует байесовский подход. Я всегда объясняю формулу Байеса так - апостериорное распределение равно произведению трёх сомножителей: 1-нормировочная константа, 2-априорное (в реализации Калмана эктраполированное) распределение, 3- функция правдоподобия. С уважением к автору Павлу Малинникову, спасибо за статью!

    Павел Малинников

    Сергей, большое спасибо за комментарий. У меня сейчас совсем нет времени, но я обязательно свяжусь с вами позже, чтобы обсудить это более подробно.

  4. Дмитрий 28.11.2013 12:25

    " Что же делает фильтр? Он помнит только одно значение x1 и его дисперсию σ2. Когда поступает новое значение x2 со своим отклонением r2,"

    r2 - r в квадрате ето же дисперсия. или я ошибаюсь?

    Спасибо

    Павел Малинников

    Не ошибаетесь, все правильно. Везде используется дисперсия. "... поступает новое значение x2 со своим отклонением r (в квадрате)". Квадрат отклонения — это дисперсия и есть.

    Возможно стоит переписать этот абзац, чтобы не допускать двоякой трактовки.

  5. nagim 01.12.2013 14:50

    Добрый день,
    искал вчера реализацию калмановского фильтра на питоне, взял вашу, примерил - работает. Теперь хочу разобраться почему :)
    Правильно ли я понимаю, что в случае фильтрации функции y(x), на вход широты нужно подавать x, а на вход долготы - y? При фильтрации лишь одной переменной результаты много хуже (кстати, подскажите, пожалуйста, почему выгоднее фильтровать именно пару значений [x;y]?). С реализацией по скользящему среднему, конечно, не идет ни в какое сравнение - калман держит сглаженной как саму функцию, так и ее производную.

    Павел Малинников

    По иксу — долгота, широта — по игреку.

    На питоне я просто проверял идею. Для промышленного применения я потом сделал матричную реализацию на Objective-C и там я фильтрую не только пару координат X, Y, но и вектор скорости по X, Y, так что в матричных вычисления участвует матрица 4*1, остальные матрицы 4*4.

    Я собираюсь выложить еще один документ по ФК, где собрано все, что я знаю о влиянии каждой матрицы и ее роли в вычислениях и реализация с матрицами 4*4 (позиция и скорость).

  6. Алекс 12.12.2013 08:31

    Здравствуйте. Спасибо за статью. У меня вопрос есть три значения широта, долгота, высота. Они подаются от датчиков с ошибкой. Фильтр должен их фильтровать но при этом я не вывожу из другие значения тогда получается, что здесь матричная реализация не нужна ведь я их фильтрую по отдельности и управляющей компоненты нет.

    Павел Малинников

    Я пробовал фильтровать позицию двумя способами. Каждую координату по отдельности (скалярно) и как вектор (матричным методом). Надо сказать, что матричный метод дает лучший результат.

  7. Александр Новинский 14.06.2014 17:11

    Добрый день, спасибо за статью.
    Одного не могу понять.
    Когда приходит новое значение с показания датчика, откуда узнать какого его отклонение (т.е. дисперсия) ? Я могу только предположить, что эти параметры задаются самостоятельно на основе технических характеристик датчиков. Т.е., например, температура с точностью до одной десятой градуса. Значит ли это, что у такого датчика дисперсия равна 0.1? Или как, например, определить дисперсию показания вайфай локатора? Вряд ли там какая-то точность указана - слишком уж все зависит от взаимного располодения точек доступа вайфай да и силы сигнала.

Ваш комментарий:

 

 


Только просмотр (без публикации)